通天之潜水

题目背景

直达通天路·小 A 历险记第三篇

题目描述

在猴王的帮助下，小 A 终于走出了这篇荒山，却发现一条波涛汹涌的河拦在了自己的面前。河面上并没有船，但好在小 A 有 $n$ 个潜水工具。由于他还要背重重的背包，所以他只能背 $m$ 重的工具，又因为他的力气并不是无限的，河却很宽，所以他只能背有 $v$ 阻力的工具。但是这条河下有非常重要的数据，所以他希望能够停留的时间最久。于是他找到了你，让你告诉他方案。

输入格式

三个数 $m,v,n$ 如题目所说。

接下来 $n$ 行，每行三个数 $a_i,b_i,c_i$ 分别表示所含的重力，阻力，能够支撑的时间。

输出格式

第一行一个数，表示最长的时间。

接下来一行，若干个数，表示所选的物品。

样例 #1

样例输入 #1

100 100 3
50 60 289
40 10 116
50 50 106

样例输出 #1

405 
1 2

提示

对于 $100\%$ 的数据，$1\le m,v\le 200$，$1\le n\le 100$。

数据保证一定有方案。

若有多种方案，输出前面尽量小的方案。

---

看起来是个很简单的二维费用背包是吧，只要模仿01背包的做法就可以了。
这个题为什么是绿色的？还需要输出选择物品的方案，而且题目会卡，不优化空间就会MLE，因此我们需要在滚动数组/二维数组（二位费用背包本来是三维的）的情况下，输出选择物品的方案。

为了循序渐进，先考虑三维状态的背包是如何输出选择物品的方案的，每个状态[物品数][费用1][费用2]存一个vector，加上这个vector，这个数组是四维数组了，当然网上看到有用char存的，如果不用vector改用char或许不需要优化空间直接就过了。我们需要在每次发现可以更新的时候，把子问题的物品选择方案复制一份过来，然后把当前物品的编号放进后面去。

注意：每个状态只更新了一次，因为循环只会在这个状态停留一次，那么在更新/沿用i-1的时候，只会这样被处理一次物品选择的方案，不会反复修改。换句话说，每个状态的物品选择方案，一旦更新就肯定是**使得价值最大（但是对于同样的最大价值，方案可能不唯一，首次选择用哪种方案，并不确定，需要修改代码细节来控制，详见下文）**的方案。

既然每个状态只更新一次，那么选择的“路径”是无后效性的，可以边递推边存储路径。

但是这个题真的值绿色吗？ 毫无疑问我这样做hack都没过， 注意到，题目的最后，写明了要输出的方案要求前面的物品尽可能编号小，用hack1的数据试一下你就懂了

先上我的没AC的代码：

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int m,v,n,a[101],b[101],c[101];
int f[201][201];
vector<int> items[201][201];
int main()
{
	cin>>m>>v>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	cin>>a[i]>>b[i]>>c[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=m;j>=a[i];j--)
		{
			for(int k=v;k>=b[i];k--)
			{
				if(f[j-a[i]][k-b[i]]+c[i]>f[j][k])
				{
					f[j][k]=f[j-a[i]][k-b[i]]+c[i];
					items[j][k]=items[j-a[i]][k-b[i]];
					items[j][k].push_back(i);
				}
				else items[j][k]=items[j][k];
			}
		}
	}
	cout<<f[m][v]<<endl;
	for(int i=0;i<items[m][v].size();i++)
	{
		cout<<items[m][v][i]<<" ";
	}
	return 0;
}

分析可知我的代码的更新条件是“惰性”的，必须要严格增才会更新，也就是说，我的代码会使得最后一个物品的编号尽可能小
如果加了等于号，那么会使得最后一个物品的编号尽可能大

敏锐的你一定会察觉到，只要把物品的顺序反过来，那么就变成了第一个物品的编号尽可能小，最后再反序输出就得到正确顺序的答案了

AC代码如下：

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int m,v,n,a[101],b[101],c[101];
int f[201][201];
vector<int> items[201][201];
int main()
{
	cin>>m>>v>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	cin>>a[i]>>b[i]>>c[i];
	for(int i=n;i>=1;i--)
	{
		for(int j=m;j>=a[i];j--)
		{
			for(int k=v;k>=b[i];k--)
			{
				if(f[j-a[i]][k-b[i]]+c[i]>=f[j][k])
				{
					f[j][k]=f[j-a[i]][k-b[i]]+c[i];
					items[j][k]=items[j-a[i]][k-b[i]];
					items[j][k].push_back(i);
				}
				else items[j][k]=items[j][k];
			}
		}
	}
	cout<<f[m][v]<<endl;
	for(int i=items[m][v].size()-1;i>=0;i--)
	{
		cout<<items[m][v][i]<<" ";
	}
	return 0;
}