经典DP-最长单调子序列

最长递增子序列

思路

定义状态：
- 我们定义一个数组 dp，其中 dp[i] 表示以 nums[i] 结尾的最长递增子序列的长度。
初始化状态：
- 对于数组中的每个元素 nums[i]，初始时都可以被视为一个长度为1的递增子序列，因此 dp[i] 的初始值都设为1。
状态转移方程：
- 对于数组中的每个位置 i，我们遍历它之前的所有位置 j（j < i）。
- 如果 nums[i] 大于 nums[j]，说明 nums[i] 可以接在以 nums[j] 结尾的递增子序列后面，形成一个更长的递增子序列。
- 在这种情况下，我们可以更新 dp[i] 为 dp[j] + 1，表示以 nums[i] 结尾的递增子序列长度是以 nums[j] 结尾的子序列长度加1。
- 我们需要遍历所有 j < i 的情况，并取 dp[j] + 1 中的最大值来更新 dp[i]。
求解结果：
- 在完成所有状态转移后，dp 数组中的最大值就是最长递增子序列的长度。
- 因为 dp[i] 存储的是以 nums[i] 结尾的最长递增子序列的长度，所以最长递增子序列的实际长度可能不在数组末尾，而是在数组中的某个位置。
- 因此，我们需要遍历整个 dp 数组来找到最大值，这个最大值就是最长递增子序列的长度。
优化空间复杂度：
- 上述方法的空间复杂度是 O(n)，因为我们需要一个大小为 n 的 dp 数组来存储状态。
- 但实际上，我们只需要知道前一个状态 dp[j] 的值来更新当前状态 dp[i]，因此可以使用一个变量来替代整个数组，从而将空间复杂度优化到 O(1)。
实现细节：
- 在实际编码时，我们需要处理边界情况，比如输入数组为空或只有一个元素的情况。
- 在 main 方法中，我们需要创建 LongestIncreasingSubsequence 类的实例，并调用其 lengthOfLIS 方法来获取结果。

代码

java">
import java.util.Scanner;
//给你一个整数数组nums，
//找到其中最长严格递增子序列的长度
public class 最长递增子序列 {
	
//写一个方法
	public int lengthOfLIS(int [] nums) {
		//在方法的开始，我们首先处理边界情况
		if(nums==null || nums.length==0) {
			return 0;
		}
		//dp[i]将存储以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度。
		int[] dp=new int[nums.length];
		//初始化一个变量maxLength，用于跟踪目前为止找到的最长递增子序列的长度
		int maxLength=1;
		
		for(int i=0;i<nums.length;i++) {
			dp[i]=1;//将dp[i]初始化为1，因为任何元素都可以作为一个长度为1的递增子序列。
			for(int j=0;j<i;j++) {//再用一个内层for循环遍历当前元素之前的所有元素。
				//在内层循环中，我们检查当前元素nums[i]是否大于前面的元素nums[j]
				if(nums[i]>nums[j]) {
					dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j]+1);
				}
			}
			maxLength=Math.max(maxLength, dp[i]);
		}
		return maxLength;
	}
	public static void main(String[] args) {
		Scanner scan = new Scanner(System.in);
		最长递增子序列 ss =new 最长递增子序列();
		int [] nums= {10,9,2,5,3,7,101,18};
		int result = ss.lengthOfLIS(nums);
	     System.out.println(result);  
	}
}

最长递增子序列的个数

代码

java">import java.util.Arrays;

public class 最长递增子序列的个数 {
	public int findNumberOfLIS(int[] nums) {
		if(nums==null || nums.length==0) {
			return 0;
		}
		int n=nums.length;
		int[] dp=new int[n];//dp[i] 存储以 nums[i] 结尾的最长递增子序列的长度
		int[] count = new int[n];//count[i] 存储以 nums[i] 结尾的最长递增子序列的个数
		Arrays.fill(count, 1);//初始化count数组，每个元素的最长递增子序列至少包含一个元素
		
		int maxLength = 1;//最长递增子序列的长度
		
		for(int i=0;i<n;i++) {
			dp[i]=1;
			for(int j=0;j<i;j++) {
				if(nums[i]>nums[j]) {
					if(dp[j]+1>dp[i]) {
						//如果发现一个更长的递增子序列，更新 dp[i] 并重置 count[i]  
						dp[i]=dp[j]+1;
						count[i]=count[j];
					}
					else if(dp[j]+1==dp[i]){
						count[i] += count[j];
					}
				}
			}
			maxLength = Math.max(maxLength, dp[i]);
		}
		int result=0;
		for(int i=0;i<n;i++) {
			if(dp[i]==maxLength) {
				result+=count[i];
			}
		}
		return result;
	}
	public static void main(String[] args) {
		最长递增子序列的个数 solution=new 最长递增子序列的个数();
		int [] nums= {1,3,5,4,7};
		int count=solution.findNumberOfLIS(nums);
		System.out.println(count);
	}

}

知识点

Arrays.fill(count, 1);

是 Java 中的一个方法调用，用于将数组 count 的所有元素设置为指定的值，即 1。这个方法来自于 java.util.Arrays 类，是一个静态工具类，提供了很多用于操作数组（例如排序、搜索、填充等）的静态方法。

在这个特定的情境下，Arrays.fill(count, 1); 被用来初始化 count 数组。由于我们正在计算最长递增子序列的个数，每个元素至少可以作为一个长度为 1 的递增子序列的结束元素。因此，count 数组的每一个位置都被设置为 1，意味着每个元素开始时都被视为一个独立的递增子序列。