一文详解不同路径

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题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

【题目分析】

我们发现，如果 m = 任意值，n = 1，其实就只有一条路
如果n = 任意值，m= 1其实也只有一条路。
如果m = 3 ,n = 7 他的结果与n = 3 m = 7;是一致的。

我们采用动态规划，动态规划三要素

dp数组[m][n] 存放到m,n点有dp[m][n]路可以走。
dp[m][n]更新算法；这里我们先保留一下。
循环次数与条件，这里我们也保留一下

由上面分析我们可知，m或者n 为任意值，另一个值为1时，只有一条路，那么dp数组为

~~那么我们思考一下，？的地方应该如何更新呢？~~

如果我们只看这四个方块时，dp[1][1] 应该是等于 dp[0][1] + dp[1][0]；

因此dp的更新公式可以为：dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

同理其他dp[m][n]可以更新为

最终我们输出dp[m-1][n-1]即可

【代码】

java">package db;

public class UniquePaths {
    public static void main(String[] args) {
        int i = uniquePaths(3, 7);
        System.out.println("i = " + i);
    }

    public static int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp = new int[m][n];
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            dp[i][0] = 1;
        }
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            dp[0][j] = 1;
        }
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j-1];
                System.out.print(dp[i][j] + "\t");
            }
            System.out.println();
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }

    public static int uniquePaths2(int m, int n) {
        // 是得 n 最长
        if (m > n) {
           m = m^n;
           n = m^n;
           m = m^n;
        }
        int[] arr = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            arr[i] = 1;
        }

        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                arr[j] += arr[j-1];
                System.out.print(arr[j] + "\t");
            }
            System.out.println();
        }
        return arr[n-1];
    }
}